Archimedes: Kegel, Kugel und Zylinder 

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen,
die nicht Mathematik studiert haben,
   unglaublich erscheinen.     

Archimedes      

Die Kreiszahl  

gibt das Verhältnis des Umfanges zum Durchmesser eines Kreises an. 

Archimedes, der größte Mathematiker und Ingenieur der Antike, wußte bereits (im 3. Jahrhundert v. Chr.), daß die Kreiszahl alternativ das Verhältnis der Kreisfläche zur Fläche eines Quadrates über dem Radius des Kreises beschreibt: 

Wie hat er das begründet?
 

Archimedes und die Pizza 

Der Pizzabäcker von Syrakus lieferte eine besonders schön kreisrunde Pizza.
 

Um die Pizza im Lieferkarton unterzubringen, zerschnitt er sie in gleich große Stücke,  die er platzsparend so aneinanderlegte, daß abwechselnd die Spitzen nach oben und nach unten zeigten:
 

Und Archimedes erkannte sogleich:  

Die Gesamtfläche der Pizzastücke nähert sich immer mehr einem Rechteck der Höhe r (Kreisradius) und der Breite an. Der Flächeninhalt des approximierten Rechtecks ist daher gleich  

, 

und das selbe muß für die Kreisfläche der Pizza gelten.

 

Die Flächen von Raute, Kreis und Quadrat verhalten sich bei gleicher Breite und Höhe wie 

Ein irrationales (sogar transzendentes) Verhältnis! 

Erstaunlicherweise wird alles viel einfacher, wenn wir diese drei Figuren um die senkrechte Mittelachse rotieren lassen. Es entstehen 

Kegel, Kugel und Zylinder 

Bestechend einfach und elegant ist die 

Archimedische Proportionsformel 

Bei gleicher Höhe und Breite ist das Verhältnis der Volumina 

Kegel : Kugel : Zylinder  =  1 : 2 : 3 . 

Der abgebildete Doppelkegel hat das gleiche Volumen wie ein einfacher Kegel gleicher Höhe und Grundfläche. 

Kegelvolumina 

Daß das Kegelvolumen ein Drittel des Zylindervolumens beträgt, folgt aus einer allgemeineren, für die Integration sehr nützlichen Tatsache: 

Das Volumen eines allgemeinen "Kegels", der durch Verbinden der Randpunkte einer beliebigen Grundfläche mit einer Spitze entsteht, beträgt ein Drittel des Volumens einer Säule mit gleicher Grundfläche und Höhe: 

Für den Spezialfall, dass die Grundfläche ein Quadrat und die Höhe gleich der Seitenlänge ist, erhält man eine quadratische Pyramide und einen Würfel. Indem man einen Eckpunkt des Würfels mit allen anderen verbindet, sieht man unmittelbar, dass der Würfel dadurch in drei gleiche quadratische Pyramiden zerfällt.
 

Streckt man die Figur in einer Richtung, so verändern sich alle Volumina mit dem gleichen Faktor, und 

man erhält quadratische Säulen und Pyramiden beliebiger Höhe, für welche das Verhältnis 3:1 der Volumina erhalten bleibt. 

Um zu beliebigen Grundflächen überzugehen, braucht man nur noch das anschaulich einleuchtende 

Prinzip von Cavalieri 

Zwei Körper, die in jeder Höhe einen Querschnitt gleichen Flächeninhalts haben, besitzen das gleiche Volumen. 

Mit Hilfe dieses Prinzips bestätigen wir jetzt auch die archimedische Proportionsformel. 

Betrachten wir dazu die obere Hälfte einer Kugel und schneiden die Halbkugel mit Radius r in der Höhe h waagerecht durch. Nach Pythagoras ergibt sich eine kreisförmige Scheibe mit der Schnittfläche 

. 

Nun schneiden wir aus dem einhüllenden Zylinder mit Radius r einen Kegel mit Spitze im Zentrum der Grundscheibe heraus: 

Es bleibt ein rotationssymmetrischer "Hohlkegelzylinder", dessen Querschnitt in der Höhe h als Differenz zweier Kreischeiben mit Radius r und h ebenfalls den Flächeninhalt  

hat, in Übereinstimmung mit dem Querschnitt der Kugel in gleicher Höhe! 

Vergleichen wir die beiden Rotationskörper miteinander: 

Da in jeder Höhe die beiden Querschnitte den gleichen Flächeninhalt haben, muß also das Volumen des Hohlkegelzylinders gleich dem Volumen der Halbkugel sein - oder alles mit 2 multipliziert: 

Da das Volumen des Kegels ein Drittel des Zylindervolumens beträgt, kommt tatsächlich das Verhältnis  

1 : 2 : 3   

heraus!  
Mit der Formel "Grundfläche mal Höhe" für Zylinder erhalten wir schließlich: