Rational and integral points of bounded height on surfaces over global fields

verfasst von

Judith Ortmann

betreut von

Ulrich Derenthal

Abstract

Die Manin-Vermutung sagt die Verteilung von rationalen Punkten mit beschränkter Höhe auf Fano-Varietäten über Zahlkörpern voraus. Zwei Methoden zur Überprüfung der Manin-Vermutung für bestimmte Varietäten sind harmonische Analysis auf Höhen-Zeta-Funktionen und die Methode universeller Torsore. Wir wenden diese Methoden an, um Ergebnisse für Zählprobleme im Zusammenhang mit der Manin-Vermutung zu erzielen: das Zählen von ganzen Punkten auf singulären del-Pezzo-Flächen über Zahlkörpern sowie rationalen Punkten in Familien von Kegelschnitten über globalen Funktionenkörpern. Chambert-Loir und Tschinkel konstruierten ein Modell für eine geometrische Interpretation der Dichte von ganzen Punkten auf bestimmten Varietäten, das von Wilsch verfeinert und von Santens als Vermutung über log-Fano-Varietäten formuliert wurde. Bislang wurde diese für torische Varietäten und ähnliche Klassen mit geeingeter Gruppenwirkung unter Verwendung von harmonischer Analysis bewiesen. Für nicht-torische del Pezzo Flächen wurde diese unter Verwendung universeller Torsore nur über ℚ bewiesen. Im ersten Teil der Dissertation verallgemeinern wir die Torsormethode ohne Ausnutzung einer Gruppenwirkung für ganze Punkte von ℚ zu beliebigen Zahlkörpern. Als repräsentative Beispiele zählen wir ganze Punkte beschränkter log-antikanonischer Höhe unter Verwendung universeller Torsore auf einer quartischen del-Pezzo-Fläche mit 𝐀₃-Singularität über imaginärquadratischen Zahlkörpern sowie einer quartischen del-Pezzo-Fläche mit 𝐀₃ + 𝐀₁-Singularität über beliebigen Zahlkörpern, jeweils bezüglich ihrer Singularitäten und Geraden. Wir interpretieren das Ergebnis über Zahlkörpern mit einer archimedischen Stelle geometrisch, um ein Analogon zur Manin-Vermutung für ganze Punkte zu beweisen. Unsere Ergebnisse stimmen mit dem vorhergesagten Modell von Chambert-Loir und Tschinkel überein. Peyre schlug ein Analogon der Manin-Vermutung über globalen Funktionenkörpern. Serre war der erste, der Kegelschnitte in einer Familie mit rationalen Punkten betrachtete. Später generalisierten Loughran und Smeets diese Arbeit und stellten eine Vermutung über das asymptotische Verhalten der Anzahl der Varietäten über Zahlkörpern mit rationalen Punkten in Familien auf. Wir untersuchen, ob ihre Vermutung auch für globale Funktionenkörper gilt: Im zweiten Teil der Dissertation zählen wir die Anzahl der Kegelschnitte in einer Familie, die einen rationalen Punkt über dem globalen Funktionenkörper 𝐾 = 𝔽₂(𝑡) haben. Mithilfe harmonischer Analysis berechnen wir die Höhen-Zeta-Funktion. Wir beweisen ferner einen Tauberschen Satz für Dirichlet-Reihen mit Verzweigungspunkten, den wir verwenden, um eine asymptotische Formel für die Anzahl der Kegelschnitte mit beschränkter Höhe in der betrachteten Familie zu erhalten.

Organisationseinheit(en)

Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

Typ

Dissertation

Anzahl der Seiten

180

Publikationsdatum

17.02.2025

Publikationsstatus

Veröffentlicht

Elektronische Version(en)

https://doi.org/10.15488/18497 (Zugang: Offen)